Studiens syfte var att ta reda på vilka strategier lärare som använder en Montessori-inspirerad pedagogik anser stimulerar och utmanar högpresterande elever i matematik samt om de upplevde några svårigheter eller problem med att undervisa högpresterande elever i matematik. För att undersöka det har sex kvalitativa intervjuer genomförts med lärare som har varit eller som är verksamma i årskurserna 1-3. Resultatet av intervjuerna visar att lärarna har en gemensam uppfattning om att en Montessori-inspirerad pedagogik utmanar och stimulerar högpresterande elever i matematik eftersom grundtanken i Montessori-pedagogiken är "eleven i centrum". Det här innebär att lärarna måste utgå från varje elevs förutsättningar, behov och aktuella kunskapsnivå. I resultatet framkommer också att lärarna använder sig av olika strategier i form av matematikbok från en högre årskurs, special- och fördjupningsområden, åldersintegrering och lärande med flera sinnen för att stimulera och utmana de högpresterande eleverna matematiskt. Det framgår också i resultatet att lärarna inte upplever några större problem eller svårigheter i undervisningen av högpresterande elever i matematik. De belyser ändå att den egna matematiska kompetensen, tidsbrist och eget kontrollbehov ibland kan utgöra hinder för att stimulera och utmana de högpresterande eleverna tillräckligt. Utifrån studien kan man dra slutsatserna att lärare som använder en Montessori-inspirerad pedagogik lägger stor vikt vid att hitta rätt strategi för rätt elev, vilket bidrar till att de högpresterande eleverna får utmaning och stimulans. De olika hindren som lärarna belyser skulle kunna minskas med fortbildning och samarbete mellan årskurserna. 

The starting point of this work has been to get knowledge about teachers working in a mathematical workshop with the students. I also wanted to investigate what students think about math, both within the workshop and in traditional teaching.

To achieve this I chose to interview a teacher in charge within the framework of a mathematical workshop, and six students in the 5^th grade. I also did a lesson observation with the purpose to see how well the teacher’s tutoring agrees with the results of the interview.

In this study I have discovered that the lessons in the mathematical workshop are planned after what the students are working with in the textbook. The teacher opens the lessons with the whole class and then splits it up in groups. In the interview the respondent conveys the importance of discussions among the students where they can explain their thoughts, especially for the weaker students that, thanks to the discussions are able to show their knowledge more. This is something I did not see during my lesson observation, however. The students also seemed to miss this when I spoke to them in the interview. They describe that they cannot see the connection between what they learn in the workshop and the textbook.

Abstract

The purpose of this study is to investigate how teachers and study supervisors for year 1-3 teach newly arrived students’ in mathematical word problems and

their views on the students’ challenges. The method used for this study is

qualitative semi-structures interviews aimed at teachers and study supervisors. The study is based upon ten interviews, six teachers and four study supervisors. The sociocultural perspective on learning is used, as this perspective is implemented in Swedish school system.

The result of the study show the importance of the Swedish language for newly arrived students to be able to take on mathematical word problems. Furthermore, the result shows that the difficulties for newly arrived students lie mainly in their language skills rather than their mathematical skills. Previous research and the result of the interviews also confirm this and emphasize the importance of study guidance in the students’ native language.

Keywords

Word problems, socio-cultural perspective, newly arrived students, bilingual teaching

We study the large-time behavior of the free boundary position capturing the one-dimensional motion of the carbonation reaction front in concrete-based materials. We extend here our rigorous justification of the t-behavior of reaction penetration depths by including nonlinear effects due to deviations from the classical Henry's law and time-dependent Dirichlet data.

We prove the large time behavior of solutions to a coupled thermo-diffusion arising in the modeling of the motion of hot colloidal particles in porous media. Additionally, we also ensure the uniqueness of solutions of the target problem. The main mathematical difficulty is due to the presence in the right-hand side of the equations of products between temperature and concentration gradients. Such terms mimic the so-called thermodynamic Soret and Dufour effects. These are cross-coupling terms emphasizing in this context a strong interplay between heat conduction and molecular diffusion.

In our previous works we studied a one-dimensional free-boundary model related to the aggressive penetration of gaseous carbon dioxide in unsaturated concrete. Essentially, global existence and uniqueness of weak solutions to the model were obtained when the initial functions are bounded on the domain. In this paper we investigate the well-posedness of the problem for the case when the initial functions belong to a  class. Specifically, the uniqueness of weak solutions is proved by applying the dual equation method.

The Cauchy-Schwarz (C-S) inequality is one of the most famous inequalities in mathematics. In this survey article, we first give a brief history of the inequality. Afterward, we present the C-S inequality for inner product spaces. Focusing on operator inequalities, we then review some significant recent developments of the C-S inequality and its reverses for Hilbert space operators and elements of Hilbert C*-modules. In particular, we pay special attention to an operator Wielandt inequality.

This thesis is devoted to the study of mixed norm spaces that arise in connection with embeddings of Sobolev and Besov type spaces. We study different structural, integrability, and smoothness properties of functions satisfying certain mixed norm conditions. Conditions of this type are determined by the behaviour of linear sections of functions. The work in this direction originates in a paper due to Gagliardo (1958), and was further developed by Fournier (1988), by Blei and Fournier (1989), and by Kolyada (2005).

Here we continue these studies. We obtain some refinements of known embeddings for certain mixed norm spaces introduced by Gagliardo, and we study general properties of these spaces. In connection with these results, we consider a scale of intermediate mixed norm spaces, and prove intrinsic embeddings in this scale.

We also consider more general, fully anisotropic, mixed norm spaces. Our main theorem states an embedding of these spaces to Lorentz spaces. Applying this result, we obtain sharp embedding theorems for anisotropic Sobolev-Besov spaces, and anisotropic fractional Sobolev spaces. The methods used are based on non-increasing rearrangements, and on estimates of sections of functions and sections of sets. We also study limiting relations between embeddings of spaces of different type. More exactly, mixed norm estimates enable us to get embedding constants with sharp asymptotic behaviour. This gives an extension of the results obtained for isotropic Besov spaces by Bourgain, Brezis, and Mironescu, and for anisotropic Besov spaces by Kolyada.

We study also some basic properties (in particular the approximation properties) of special weak type spaces that play an important role in the construction of mixed norm spaces, and in the description of Sobolev type embeddings.

In the last chapter, we study mixed norm spaces consisting of functions that have smooth sections. We prove embeddings of these spaces to Lorentz spaces. From this result, known properties of Sobolev-Liouville spaces follow.

This thesis is devoted to the study of mixed norm spaces that arise in connection with embeddings of Sobolev and Besov type spaces. The work in this direction originates in a paper due to Gagliardo (1958), and was continued by Fournier (1988) and by Kolyada (2005).

We consider fully anisotropic mixed norm spaces. Our main theorem states an embedding of these spaces into Lorentz spaces. Applying this result, we obtain sharp embedding theorems for anisotropic fractional Sobolev spaces and anisotropic Sobolev-Besov spaces. The methods used are based on non-increasing rearrangements and on estimates of sections of functions and sections of sets. We also study limiting relations between embeddings of spaces of different type. More exactly, mixed norm estimates enable us to get embedding constants with sharp asymptotic behaviour. This gives an extension of the results obtained for isotropic Besov spaces $B_p^\alpha$ by Bourgain, Brezis, and Mironescu, and for Besov spaces $B^{\alpha_1,\dots,\alpha_n}_p$ by Kolyada.

We study also some basic properties (in particular the approximation properties) of special weak type spaces that play an important role in the construction of mixed norm spaces and in the description of Sobolev type embeddings.

Syftet med studien var att analysera tid och klocka och dess progression i läromedel, för åk 4–6. Studien syftade även utifrån uppgifter kopplade till tid och klocka att analysera vilka repre-sentationsformer och vilka förmågor det är som tränas upp i de utvalda läromedlen. För att studera såväl som analysera olika matematikläromedel, användes ett dokument- och läromedelsa-nalys för att bygga upp tillvägagångssättet för studien.

Resultatet av studien visade på att de valda läromedlen hade en blandning av representationsformerna dock saknades ofta representationsformen konkret modell. Konkreta modeller fanns i några enstaka uppgifter. Studiens resultat visar även att eleven får möjlighet att träna de fem matematiska förmågor men i olika utsträckning. Kommunikations- och resonemangsförmågan är de förmågor som tränas minst i läromedel.

Slutsatsen som kan dras är att lärarens roll vid användning av läromedel i matematik är av stor vikt eftersom vissa förmågor synliggörs mer i arbetsboken än andra. När olika representat-ionsformer används hjälper det eleven att få grundläggande kunskap om tid och klockan. En annan slutsats är att resonemangsförmågan och kommunikationsförmågan behöver lyftas upp mer, så att eleven får möjlighet att resonera och samtala med varandra.

We study flat Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker alpha-attractor E- and T-models by introducing a dynamical systems framework that yields regularized unconstrained field equations on two-dimensional compact state spaces. This results in both illustrative figures and a complete description of the entire solution spaces of these models, including asymptotics. In particular, it is shown that observational viability, which requires a sufficient number of e-folds, is associated with a particular solution given by a one-dimensional center manifold of a past asymptotic de Sitter state, where the center manifold structure also explains why nearby solutions are attracted to this "inflationary attractor solution." A center manifold expansion yields a description of the inflationary regime with arbitrary analytic accuracy, where the slow-roll approximation asymptotically describes the tangency condition of the center manifold at the asymptotic de Sitter state.

We consider multirate iterative schemes for the Biot system modeling coupled flow and geomechanics in a poro-elastic medium. The multirate iterative coupling scheme exploits the different time scales for the mechanics and flow problems by taking multiple finer time steps for flow within one coarse mechanics time step. We adapt the fixed stress split algorithm that decouples the flow and mechanics equations for the multirate case and perform an iteration between the two problems until convergence. We provide a fully discrete scheme that uses Backward Euler time discretization and mixed spaces for flow and conformal Galerkin for mechanics. Our analysis is based on studying the equations satisfied by the difference of iterates and using Banach contraction argument to prove that the corresponding scheme is a fixed point contraction. The analysis provides the value of an adjustable coefficient used in the proposed iterative coupling algorithms. Furthermore, we show that the converged quantities satisfy the variational weak form for the coupled discrete system. (C) 2016 Elsevier B.V. All rights reserved.

In this paper, we consider an iterative coupling scheme for solving a fully discretized Biot system based on the fixed-stress split coupling algorithm. Specifically, we derive a priori error estimates for quantifying the error between the solution obtained at any iterate and the true solution. Our approach is based on studying the equations satisfied by the difference of iterates and utilizing a Banach contraction argument to show that the corresponding scheme is a fixed point iteration. Obtained contraction results are then used to derive theoretical convergence error estimates for the single rate iterative coupling scheme. We compare our numerical computations against the theoretically derived contraction estimates and show a good agreement with theory.

A Swedish radon data set, consisting of more than 8000 measurements of residential radon levels in about 50% of the Swedish municipalities were analysed using a multilevel approach.

The results were compared with those of a single-level analysis. We found that there was a significant variability between municipalities. The point estimates of the population mean radon levels were similar (geometric mean 60 Bq/m3 and arithmetic mean 106 Bq/m3).

The analysis shows the advantages of multilevel modeling compared with a single-level OLS model.

A single-level model results in too optimistic standard errors, about 25% of those of the multilevel

model which can lead to erroneous conclusions.

In a multilevel model including house type as a fixed effect (single-family house, row house, or apartment in multi-family house), the estimates of the fixed effect of house type were similar for the single-level and the multi-level models

This paper describes an alternative approach for testing for the existence of trend among time series. The test method has been constructed using wavelet analysis which has the ability of decomposing a time series into low frequencies (trend) and high-frequency (noise) components. Under the normality assumption, the test is distributed as F. However, using generated empirical critical values, the properties of the test statistic have been investigated under different conditions and different types of wavelet. The Harr wavelet has shown to exhibit the highest power among the other wavelet types. The methodology here has been applied to real temperature data in Sweden for the period 1850-1999. The results indicate a significant increasing trend which agrees with the 'global warming' hypothesis during the last 100 years.

Quarterly data for the period 1960:1 to 1997:2, conventional tests, a bootstrap simulation approach and a multivariate Rao's F-test have been used to investigate if the causality between government spending and revenue in Finland was changed at the beginning of 1990 due to future plans to create the European Monetary Union (EMU). The results indicate that during the period before 1990, the government revenue Granger-caused spending, while the opposite happened after 1990, which agrees better with Barro's tax smoothing hypothesis. However, when using monthly data instead of quarterly data for almost the same sample period, totally different results have been noted. The general conclusion is that the relationship between spending and revenue in Finland is still not completely understood. The ambiguity of these results may well be due to the fact that there are several time scales involved in the relationship, and that the conventional analyses may be inadequate to separate out the time scale structured relationships between these variables. Therefore, to investigate empirically the relation between these variables we attempt to use the wavelets analysis that enables us to separate out different time scales of variation in the data. We find that time scale decomposition is important for analysing these economic variables.

I den här studien vill jag belysa hur lärare beskriver prevention och intervention, alltså deras förebyggande och ingripande agerande när det gäller undervisningen av elever som presterar lågt i matematik. Det är en kvalitativ studie som bygger på en serie gruppintervjuer av lärare i grundskolan. Det finns fortfarande en traditionellt kompensatoriskt syn på eleverna hos matematiklärarna och de är ofta av uppfattningen att det behövs specialpedagogik för att alla ska få ett godkänt betyg i matematik. I och med fortbildning, främst genom matematiklyftet, har inställningen till att klara av att inkludera elever som presterar lågt i matematik på ett bra sätt dock ökat. Arbetet i skolorna pågår för att förbättra matematikundervisningen men man ser sällan en övergripande gemensam plan från skolans eller lärarnas sida. Det arbete lärarna bedriver preventivt för att kunna inkludera de elever som presterar lågt har en positiv effekt på alla elever. Mycket av förändringen ligger i att lärare och elever talar mer matematik och inte följer läroboken lika slaviskt som tidigare.

Syftet med min uppsats är att redogöra för de steg som krävs för att prognostisera den svenska inflationen med hjälp av Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA), för att sedan bestämma den modell som ger den bästa prognosen. Jag använder mig av månadsdata av Konsumentprisindex (KPI) som mått på inflation. För att man ska kunna prognostisera en tidsserie är det viktigt att den är stationär  och efter att ha utforskat korrelogram drar jag slutsatsen att dels en förstadifferens och dels en tolvmånadersdifferens måste tas för att kunna prognostisera KPI.   

Jag följer Box-Jenkins-metodologin tämligen väl, där modellidentifikation, diagnostiska test och prognostisering är centrala begrepp.  Jag rankar de tio bästa modellerna enligt Bayesian Information Criterion (BIC) för att sedan utföra diagnostiska test på den bästa modellen i synnerhet och de andra modellerna i allmänhet. Slutligen utvärderas de olika modellerna bl.a. med hjälp av ”Root Mean Square Error” (RMSE). Den modell som bäst prognostiserar  inflationen  är en säsongsbetonad Moving Average  process  av order  ett förutom differentieringarna. 

Läromedlet spelar en stor roll i matematikundervisningen i den svenska skolan. På grund

av att de har en sådan betydande roll för elevernas möjlighet att träna och befästa deras

matematiska kunskaper och förmågor finns det höga krav på att läromedlet ska kunna

tillgodose alla elevers behov i klassrummet. Trots detta finns det inte längre någon statlig

läromedelsgranskning, något som innebär att det jobbet är upp till lärarna istället. Enligt

skollagen ska undervisningen i skolan bidra till kunskapsutveckling för samtliga elever,

oavsett tidigare kunskapsnivå. För matematiken innebär det att de uppgifter och problem

som eleverna jobbar med måste kunna tillgodose behoven hos elever med svårigheter så

väl som med begåvning. Denna studie har undersökt i vilken utsträckning fyra läromedel i

matematik för gymnasieskolan kan ge stöd åt matematiskt begåvade elever. Resultatet av

studien visar att läromedlen täcker något eller några av de kriterier som forskning visat ger

stöd åt matematiskt begåvade elever. På samma gång är det viktigt att understryka att

resultatet av studien endast visar potentialen läromedlen har, det är fortfarande upp till

lärare att ta tillvara på det material som finns dem tillhanda och använda det på ett sådant

sätt att det bidrar till begåvade elevers kunskapsutveckling.

Sammanfattning

Ett problem som alla lärare ställs inför är hur man ska anpassa undervisningen till varje elevs individuella behov.

För att belysa denna fråga har jag valt att undersöka ett specifikt fall där en skola har valt att, under en begränsad tid, nivågruppera matematikundervisningen i åk 9. De deltagande eleverna har besvarat en enkät med frågor kring hur de ser på denna organisationsform.

Resultatet av undersökningen visar att en stor majoritet av eleverna har en positiv inställning till nivågruppering i detta specifika fall. Eleverna är även positiva till att deras fortsatta undervisning ska bedrivas nivågrupperat.

Nyckelord: Nivågruppering, Matematik.

I den svenska skolan ses läroboken som ett centralt läromedel i ämnet matematik. I många klassrum råder ett individuellt och tyst arbete i läroboken under just matematiklektionerna. Den tysta räkningen är en stor del av undervisningen samtidigt som forskning talar för att matematikundervisningen bör planeras med variation och kommunikation med eleverna. Eleverna bör i tidig ålder mötas av en undervisning där de får möjlighet att förstå sambandet mellan matematik och vardagen.Den undervisande läraren har en central roll i att välja det läromedel som ter sig bäst lämpad för undervisningssituation och de undervisande individerna. Läraren bör även arbeta utifrån varje individs förmåga och på ett sätt som gör att eleverna känner nyfikenhet det vill säga en nyfikenhet som bidrar till ökad inre motivation.Syftet med studien var att få lärarnas perspektiv på läroböckernas utformning. Då läroboken är ett ofta förekommande läromedel i matematikämnet så fanns en nyfikenhet kring hur väl läroboken faktiskt lever upp till lärarnas behov.Metoden som användes var både kvalitativ och kvantitativ. En enkät skickades ut till lärare som undervisar i matematik i årskurs 1-3. Förhoppningen var att få in ett stort antal svar genom att skapa en enkät med kryssfrågor som inte skulle behöva ta särskilt lång tid att svara på. Tyvärr blev antalet respondenter lågt vilket medförde en problematik kring att söka svar på forskningsfrågorna. Detta medförde att ett fördjupat frågeformulär skapades. Enkäten och frågeformulärets svar har tillsammans stått som grund till analysen och resultatet.Resultatet visade att lärare som undervisar i ämnet matematik i årskurs 1-3 till stor del använder sig av en lärobok. Stor del av lärarna anser att läroboken i sig var ett motiverande arbetsmaterial för eleverna och att många yngre elever tycker om att arbeta i sin lärobok. Resultatet visade fortsättningsvis att det råder delade meningar kring huruvida läroboken i sig ger bra möjligheter till att nivåanpassa undervisningen samt hur väl den stämmer överens med deras egen tolkning av de kunskapskraven för elever i slutet av årskurs 3. Samtliga lärare ser sin egen undervisning som varierad och att det kommunikativa i ämnet är viktigt. Resultatet visade även att lärare som arbetar utan lärobok inte ser fördelar med läroboken mer än att den kan vara till hjälp för det egna planerandet av undervisningen.Slutsatsen är att läroboken är ett viktigt läromedel, inte minst som ett stöd i den egna planeringen. Lärare som undervisar i årskurs 1-3 tycker själva att de har en varierad matematikundervisning och motiverade elever. Lärarna är överens om att det är viktigt att förankra matematiken i vardagen då den ständigt finns runt omkring oss.

The word mathematics is often associated to addition, subtraction, division or multiplication. This is not the kind of mathematics that belongs to pre-school. In my essay I have chosen to write about how mathematics is used in pre-school. In the literature it is written that the best way of becoming familiar with mathematics, is to integrate it in the every day life but that there are educators that use traditional mathematics education in pre-school. The questions I would like to answer are:

1. How is mathematic used in pre-school?

2. What are the educators’ opinions in pre-school regarding the introduction of the

curriculum?

In order to answer the questions I will use qualitative interviews. I have interviewed six pre-school teachers in two different schools in a middle sized town in Sweden. I have chosen six departments in order to get two educators’ views on three types of children groups, infants, siblings and an integrated group.

The answers showed that the level of using specific mathematics education is very low. Instead mathematics is integrated with everyday life situations such as when laying the table or portioning food.

The investigation also showed that all persons interviewed expressed a positive attitude towards the implementation of the curriculum for several reasons. The addition has given them a sense of acknowledgement in their earlier work, given their jobs a higher status and also strengthened and broadened their view on mathematics in pre-school.

A general approach to Monte Carlo methods for Coulomb collisions is proposed. Its key idea is an approximation of Landau-Fokker-Planck (LFP) equations by Boltzmann equations of quasi-Maxwellian kind. High-frequency fields are included into consideration and comparison with the well-known results are given.

We study the weak solvability of a system of coupled Allen–Cahn-like equations resembling cross-diffusion which arises as a model for the consolidation of saturated porous media. Besides using energy-like estimates, we cast the special structure of the system in the framework of the Leray–Schauder fixed-point principle and ensure in this way the local existence of strong solutions to a regularized version of our system. Furthermore, weak convergence techniques ensure the existence of weak solutions to the original consolidation problem. The uniqueness of global-in-time solutions is guaranteed in a particular case. Moreover, we use a finite difference scheme to show the negativity of the vector of solutions.

Studiens syfte var att undersöka hur lärare i en kenyansk skola bedrev sin matematikundervisning i årskurs 4-6. Fokus las på hur lärarna arbetade med barn i behov av särskilt stöd i matematiken. För att besvara syftet gjordes en fallstudie med två intervjuer och sju observationer med fyra lärare på en landsbygdsskola i Kenya. Följande frågeställningar användes; Vilka klassrumsnormer rådde under en kenyansk matematiklektion? Hur uttrycktes lärarnas syn på barn i behov av särskilt stöd i matematik?De slutsatser som framkom var att olika lärares matematikundervisning liknade varandra.Läraren stod framme vid svarta tavlan där de ledde undervisningen och eleverna satt uppradade i bänkar. Undervisningen byggde på att eleverna upprepade och härmade läraren genom att eleverna det flesta gångerna fyllde i sista ordet i meningen som läraren fick dem att säga. Elever i behov av särskilt stöd fick hjälp i form av extrauppgifter och extralektioner men lärarna ansåg att det var svårt att hjälpa alla elever då det var många barn på få pedagoger.

Denna rapport handlar om hur man som lärare kan variera undervisningen i matematik med en fokusering på laborativ matematik. Den riktar sig främst mot gymnasiet men är även aktuell för både för yngre och äldre åldrar. Rapporten behandlar lärares och elevers syn på undervisning samt ger konkreta förslag på hur sådan undervisning kan gå till. Syftet med rapporten är att undersöka vad det finns för alternativ till traditionell undervisning och presentera dessa. Metoden som använts är intervjuer där jag tagit kontakt med lärare som är kända för att använda alternativa undervisningsmetoder och laborativ matematik. Totalt fem intervjuer.

Resultatet visar på att undervisningen i matematik är enformig och att den bör varieras för att bli lärorik och intressant. Rapporten ger konkreta förslag på hur sådan undervisning kan gå till. Flera lärare vill testa alternativ undervisning men tvekar eftersom de inte vet att den fungerar eller anser att det inte finns tid till sådan arbetsmetod. En varierad, laborativ undervisning verkar ge goda resultat men det finns inga vetenskapliga undersökningar som bevisar detta.

We explicitly construct the canonical rational models of Shimuracurves, both analytically in terms of modular forms andalgebraically in terms of coefficients of genus 2 curves, in thecases of quaternion algebras of discriminant 6 and 10. Thisemulates the classical construction in the elliptic curvecase. We also give families of genus 2 QM curves, whose Jacobiansare the corresponding abelian surfaces on the Shimura curve, andwith coefficients that are modular forms of weight 12. We applythese results to show that our j-functions are supported exactlyat those primes where the genus 2 curve does not admitpotentially good reduction, and construct fields where thispotentially good reduction is attained. Finally, using j, weconstruct the fields of moduli and definition for some moduliproblems associated to the Atkin-Lehner group actions