Stokastiska differentialekvationer - en introduktion är ett försök att beskriva den underbara stokastiska kalkylen och dess begrepp. Syftet med denna uppsats är att ge en noggrann teoretisk diskussion av enkla linjära stokastiska differentialekvationer och system av desamma. Diskussionen skall hållas på en tämligen elementär nivå till orsak av att den är skriven av en student för studenter.Diskussionen inleds med definierandet av ett relevant sannolikhetsrum på vilket alla stokastiska argument senare skall definieras. De stokastiska differentialekvationer involveras nästan alltid av den Brownska rörelsens beteende , som är ganska besvärligt. Detta eftersom den lokalt har obegränsad variation, nästan säkert, och till följd av detta är den inte differentierbar, men dock kontinuerligt nästan säkert, vilket är faktum som bekräftas av de välkända teoremen av Kolmogorov. På grund av detta måste man utveckla teorin för den stokastiska integralen, eller med andra ord Itô kalkylen. Detta är dock lite bekymmersamt eftersom den stokastiska- integralen och kalkylen inte sammanfaller med den ordinära- Riemann-Stieltje ansatsen samt den ordinära kalkylen. Detta är dock problem som mycket elegant har lösts av K. Itô, varav jag studerar detta mycket noggrant. Speciellt behandlar jag diskussionen om Itô formeln exklusivt (vilket verkligen är ett ovärderligt och universalt verktyg) eftersom detta är nyckeln till att senare kunna lösa stokastiska differentialekvatione. De flesta stokastiska differentialekvationer kan endast lösas genom numeriska metoder, men i en introduktion finner jag det lämpligt att fokusera på enkla linjära ekvationer, där man enkelt kan härleda en explicit lösning. De ekvationer som jag valt att undersöka är; Ornstein-Uhlenbeck ekvationen, Ornstein-Uhlenbecks ”mean reverting process”, Itôs driftfria ekvation och slutligen den berömda geometriska Brownska rörelsen. För att erhålla en bild och uppfattning av beteendet för dessa lösningar är de två första momenten beräknade samt att ekvationerna är simulerade. Lösningarnas existens betryggas av existens- och entydighets teoremet för stokastiska differentialekvationer. Vidare presenteras en översiktlig, men tillräcklig, introduktion till system av linjära stokastiska differentialekvationer, och hur man använder den multidimensionella Itô formeln för att erhålla lösningar Slutligen applicerar jag ett system av Ornstein-Uhlenbecks ”mean reverting” processer för att försöka beskriva den stokastiska interaktion mellan makrovariablerna ränta, inflation och växelkurs. Systemet kan tänkas befinna sig i en initial jämnvikt för att därefter utsättas för en räntechock (dvs. budskapet om ett icke medlemskap i EMU). Modellen förklarar då hur dessa variabler når sina nya långsiktiga nivåer. Naturligtvis ges en explicit lösning och en simulering av detta system. Nyckelord: Sannolikhetsrum, Brownsk rörelse, Itô kalkyl, Ornstein-Uhlenbeck ”mean reverting” process, geometrisk Brownsk rörelse, system av stokastiska differentialekvationer, och stokastisk räntemodell.

Stochastic differential equations - an introduction is an attempt to describe the marvellous world of stochastic calculus. The purpose of this thesis is to give a thoroughly discussion of the theory of simple linear stochastic differential equations and system of the same. The discussion is held quite elementary rather than profound, this since it is written by a student for students. The discussion starts with a relevant probability space on which all stochastic arguments later are defined. Almost certain, stochastic differential equations involves the behaviour of the Brownian motion which is quite messy. This since it locally has unbounded variation almost sure, and as a consequence of that it becomes nowhere differentiable, but is still continuous with probability one. Facts claimed by the well-known theorems of Kolmogorov. Therefore one have to develop the theory of the stochastic integral, or to be more specific Itô calculus. This is a bit cumbersome since the stochastic- integral and calculus do not coincidence with the ordinary- Riemann-Stieltje proposition and ordinary calculus. However, these very problems have been solved in a most fashionable and eminent way by K. Itô, which I thoroughly discuss. Especially I deal exclusively with the Itô formula (indeed an invaluable and universal tool in stochastic calculus) since it is the key to be able to solve stochastic differential equations. The most stochastic differential equation can only be solved by numerically methods, but in an introduction I think it is convenient to concentrate on elementary linear equations where one easily derive an explicit solution. The equations that I investigate exclusively are; Ornstein - Uhlenbeck equation, Ornstein - Uhlenbeck mean reverting process, Itôs equation and finally the famous geometric Brownian motion. To get a clue of the behaviour of the solutions the two first moments are calculated and the solutions are also simulated. All solutions and their existence are guaranteed by the existence and uniqueness theorem for stochastic differential equations. Furthermore, a very brief but sufficient introduction to system of stochastic differential equations is done, and how one applies the multidimensional Itô formula to reach a solution. Finally I apply a system of Ornstein-Uhlenbeck’s mean reverting processes to describe the stochastic interdependence between the macro variables interest rate, inflation and exchange rate. This system can be thought of as a model with an initial equilibrium, and where I in time assume an interest chock to the system (i.e. the message of a non-membership in EMU). The model explains then how the variables reach theirs new long-run levels. Of course an explicit solution is given together with its simulation. Keywords: Probability space, Brownian motion, Itô calculus, Ornstein - Uhlenbeck´s mean reverting process, geometric Brownian motion, System of stochastic differential equations, and Stochastic rate of interest model.