Note that equations and expressions has been omitted here and is instead presented in the work. 

This thesis focuses on the geometric phase in pure and mixed quantum states. For the case of a pure quantum state, Berry's adiabatic approach (4.1.10) and Aharonov & Anandan's non-adiabatic generalization of Berry's approach (4.2.8) are included in this work. Mixed quantum state involves Uhlmanns approach (5.1.42), which is used extensively in Section 7 and Sjöqvist's et al. approach (5.2.22), used extensively in Section 6. Sjöqvist's approach states that the Uhlmann phase is an observable and provides the experimental groundworkusing an interferometer.􀀀This was later proven, by Du et al.[45] to reproduce experimental data (Figure 19) on page 56.

The Uhlmann phase can be used to observe the behaviour of topological kinks. This was tested on 3 models, the Creutz-ladder, the Majorana chain andthe SSU-model. It is found that the Uhlmann phase is split into two regimes with the dividing parameter being the temperature. This temperature is called the critical temperature, Tc. If the temperatureis is below the critical temperature, the Uhlmann phase yields Π and if thetemperature is above the critical temperature, the Uhlmann phase yields zero.

Observera att ekvationer och andra uttryck har exkluderats här och är presenterade i själva arbetet.

Detta examensarbete behandlar geometriska faser i rena och blandade kvanttillsånd. I rena kvanttillstånd finner man Berrys adiabatiska behandling av den geometriska fasen (4.1.10) och Aharonov & Anandan icke-adiabatiska generaliseringav Berry fasen (4.2.8). I det blandade kvanttillstånden har Uhlmann introducerat en förlängning av den geometriska fasen som sträcker sig till det blandadekvanttillstånden (5.1.42), detta finner man i sektion 7. Senare har Sjöqvistet al. introducerat ett alternativ till att angripa geometriska faser (5.2.22) som beskrivs i sektion 6. Sjöqvist konstaterade att Uhlmannfasen är observerbar,i kvantmekanisk mening, och presenterade ett  experimentelt upplägg där han visade just detta med hjälp av en interferometer. vilket senare bevisades av Du et al.[45] där de experimentella mätvärdena stämde överens med dem teoertiska (se figur 19 på sidan 56).

Uhlmannfasen kan även användas för att observera topologiska "kink"-lösningar. Detta testades för 3 olika modeller; Creutz stege formationen, Majorana kedjan och SSU modellen. Det visade sig att Uhlmannfasen delades up i två regioner och var starkt beroende av temperaturen. Denna temperaturen kallades för den kritiska temperaturen Tc. Om temperaturen liggerunder eller över den kritiska temperaturen får man att Uhlmannfasen ger Π eller 0 respective.